2005-11-05 カントールの連続体仮説と無限集合のお話 [長年日記]

無限集合のお話 [etc]

アレフ0は加算無限集合とも言われる。

T-pon’s 一日一文Palm日記 with T|T5

算無限集合の間違いです。

アレフ0は無限集合の中で最小の濃度の集合だ。アレフ0よりも濃度の高い集合にアレフ1があって、これは実数と同じ濃度である。つまり、自然数の集合を実数の集合に1対1対応させることはできない、ということらしい。

T-pon’s 一日一文Palm日記 with T|T5

アレフ0、つまり可算無限集合が無限集合の中で最小の濃度の集合というのはいいです。
が、後がいけない。
「アレフ1が実数と同じ濃度である」という命題は、現在はカントールの連続体仮説と呼ばれ、証明不可能な命題である(つまり、数学の公理系にこの命題を加えても、この命題の否定を加えても矛盾が発生しない)ことが証明されています(ゲーデルからコーエンに至る成果)。
自然数の集合を実数の集合に1対1対応させることはできない、というのは正しく、これはカントールにより示されています。


この話題で続けて書こうと思ったのだけど、前に書いていることに気がついた。

後にこれは証明不能な問題であることが証明される。その証明をしたのは誰あろうゲーデルだった。

prima materia diary - Q.E.D カントール デデキント ゲーデル そして ミネルヴァの梟

この部分だけ、ちょっと訂正するべきだけど。

カントールの連続体仮説 そしてなぜかQ.E.D. [hatena][comic]

無限に関する質問です。まず、自然数の集まりなどを表す無限を∞(0)(アレフゼロ)、無理数の集まりなどを表す無限を∞(1)(アレフワン)とすると、この両者に次のような関係が成り立ちます。
2^∞(0)=∞(1)
これについては問題ないと思えるのですが、
http://www.hatena.ne.jp/1130932358

問題がある。
カントールが一生を懸けて取り組んだこの等式は、証明不可能な命題であることが後にゲーデルやコーエンによって証明されている


追記:証明不能命題だから\(2^{\aleph_{0}}~=~\aleph_{1}\) が真である公理系と、偽である公理系とを別の公理系として話を進めることも可能なわけか(証明不能な命題である、というのはすなわちZFC公理系から独立しているという意味だから)。これは元は「連続体仮説が真な公理系を考えましょう」という宣言だったのかな?


まだ私の回答は開かれてないけど補足しておく。

2^A → A を指し示す対数にあたる概念もありそうな気もしますが、そういう概念は(少なくとも、カントールやゲーデルあたりの解説書のレベルでは)出てきません。

   ↓

(少なくとも、大学の一般教養レベルの数学や、カントールやゲーデルあたりの解説書のレベルでは)

としておくべきだったか。
専門にあたる数学科での授業や、数学という学問の最前線では、そういう概念ももしかしたら出てくるのかもしれない。が、質問者の理解度から察するにそういう立場にいる人ではないだろうし、また、はてなで回答が得られるようなレベルの話でもないだろう。


あー。私も混乱しているなぁ。一般連続体仮説(\(2^{\aleph_{n}}~=~\aleph_{n+1}\) )が証明不能であるのはいいとして、連続体仮説(\(2^{\aleph_{0}}~=~\aleph_{1}\) )はどうなっているんだっけ?
手元にちょうどいい資料が無い……。


いや、待てよ。

Q.E.D.証明終了(20) (講談社コミックス月刊マガジン)

  • 作者: 加藤 元浩
  • 出版社/メーカー: 講談社
  • 発売: 2005-02-17
  • ASIN: 4063709728
  • メディア: コミック
  • amazon.co.jp詳細へ

に出てるんだな。
連続体仮説も証明不能命題でいいのか……。ちゃんと回答に書くんだった。これは大失敗だなぁ。
(はてなのキーワードリンクでもよかった。)
(ということで、先頭に追記した。)


いやいや、待て待て。Q.E.D.やはてダのキーワードに書いてある「連続体仮説」が「一般連続体仮説」を指している可能性も否定できないぞ……。
(ということで再び更新)


いいかげんしつこいが。

連続体仮説 - Wikipedia

連続体仮説と一般連続体仮説がちゃんと区別して記されているし、連続体仮説は証明不能命題であるということでいいのだろう。


追記:あぁ、これは質問が悪い。「可算無限集合よりも小さい濃度の無限集合は無いのでしょうか? それが証明されたことはありますか?」という質問文の方が妥当だったのでは?
そうであれば、何も回答することはありませーん。というかZF公理系の公理の中に無いから、公理ではないんじゃないかなぁ、ぐらいで思考が止まってしまう。自然数の概念も集合論の中では、日常的な感覚とは違う定義になってしまうし。

broken link

このあたり。


もう回答する気がないのでここに書いてしまうが、無限集合のべき集合が元の集合よりも高い濃度を持つ(元の集合からべき集合への全単射が存在しない)ことは、カントールが対角線論法を用いて証明済み。

カントールの対角線論法 - Wikipedia

ただし、一般連続体仮説(\(2^{\aleph_{n}}~=~\aleph_{n+1}\) )が証明不能命題であることには注意。


追記:一見して集合論の話をしているように見えるこの質問。だけど集合論の言語で語っていない。だから集合論の言葉で回答しても、その回答は正しく届かない。集合\(A\) のべき集合を\(2^{A}\) と表記すること、集合\(A\) の要素の個数を\(|A|\) と表記すること。それらの表記法が「集合論以外の数学」からの借り物であるために混乱してしまう。
否、それらはもちろん、素朴集合論から公理的集合論へと移り変わる過程で、集合論の公理に組み込まれたり再定義されたりして、集合論を語るための道具となったわけではあるが。例えば、集合論の言語では"自然数"や"関数"でさえ我々が日常使っているものとは定義を異にする。
それを無視して、集合論の言語で再定義されていない――集合論の公理によって支えられていない――"対数"という概念/言葉を持ち出してしまっているのだ。

wish [comic]

Wish―たったひとつの願いごと (講談社コミックスなかよし)

  • 作者: 征海 未亜
  • 出版社/メーカー: 講談社
  • 発売: 2005-10-06
  • ASIN: 4063640930
  • メディア: コミック
  • amazon.co.jp詳細へ

たまには表紙だけで衝動買いもする。しかし、なかよしのコミックスを買うのは生まれて初めてだな。
全然知らなかったが、東京ミュウミュウの作者なのだな。
少女漫画誌に一本ぐらいは入っているホラー(っぽい)話。可もなく不可もなく。
特筆するべき所は特に無いのだけど、1と3がわりと面白かった。


しかし、楠桂の妖魔の最終回をたまたまリアルタイムで読んだという体験は結構、漫画の趣味に影響を与えているなぁ、と今は思う。

情報に対する姿勢・アンテナが命では? [hatena]

ネットで株の取引をしたいと思っています。初心者です。最初は週1−2回の取引(1回の手数料が安いところがいい)、後に毎日のデイトレーディングをしたい(使い放題が安いところがいい)です。2つの条件が揃っていて、かつWEB上で上記の契約条件の切り替えができるところはありますか?その会社の欠点や利点など詳細も知りたいです。よろしくお願いします
http://www.hatena.ne.jp/1131145747

「初心者」が、ネットの初心者を意味するのか株の初心者を意味するのか曖昧。
いずれにせよ、株取引なんて情報収集が命の様にも思えるのだけど?
そのあたりから人任せにしてしまうという姿勢に不安を覚えるのは私だけ?