2005-12-09 自然数の桁は有限でおさえられる 続き [長年日記]

スタまに TAKADA BANDとか [anime][music]

TAKADA BANDは、

3×3EYES 人之巻

  • アーティスト: Haneda Symphonic Orchestra
  • 出版社/メーカー: キングレコード
  • 発売: 1990-11-21
  • ASIN: B00005F5Y0
  • メディア: CD
  • amazon.co.jp詳細へ

3×3 EYES: TAKADA BAND

  • 出版社/メーカー: キングレコード
  • 発売: 1992-06-24
  • ASIN: B00005F5Y7
  • メディア: CD
  • amazon.co.jp詳細へ

スタまにシリーズ:BLUE SEED

  • 出版社/メーカー: キングレコード
  • 発売: 2005-11-02
  • ASIN: B000B63DU2
  • メディア: CD
  • amazon.co.jp詳細へ

これだけでコンプリートじゃないんでしょうか?
OVA版の3x3EYESのサントラにも歌があるのでしょうか?


スタまにシリーズ:NG騎士ラムネ&40

  • 出版社/メーカー: キングレコード
  • 発売: 2005-11-02
  • ASIN: B000B63DTI
  • メディア: CD
  • amazon.co.jp詳細へ

「続・男と女はパピプペポ」」「正調・男と女はパピプペポ」「新・男と女はパピプペポ」が入っていないのはやはり、あまりにもしつこいからでしょうか?

プログラムの再配置 [tech]

プログラムのアドレス等も再配置に対応する仕組みを導入しているそうで、まさに、オリジナルOSを実装しているようなイメージだ。

3Dゲームファンのための「ワンダと巨像」グラフィックス講座

うひゃー。
これって、高級言語のソースコードを通してしかプログラムというものを実感できない(自分も含めた)プログラマには、なかなか新鮮。
いや、Z80のアセンブラぐらいならかじったことがあるから「配置するアドレスに依存しないコードを書くことを心がけよ」という理念は判るけど、PS2の様なプラットフォームでもこんなことをするのって……凄いことなのでは?

自然数の桁は有限でおさえられる 続き [etc]

まえがき

有理数 可算無限 証明 カントール

の検索語で、ここが先にヒットするようだ。コメントのせいなのだけど、その話題は↓のエントリ。

prima materia - diary : Q.E.D カントール デデキント ゲーデル そして ミネルヴァの梟


自然数は無限に存在する

どんな自然数でもたかだか有限の桁数で表記できる

と並べて書くと不思議でしょ? というエントリを( http://materia.jp/blog/20051207.html#p01 )で書いた。
で、 http://materia.jp/blog/20051207.html#c01 からの一連のコメントもあって、これをもう一度書いてみたいと思う。


どんな自然数でも有限の桁数で表記できる

[0, 1]閉区間のどんな実数でも有限の桁数で表記できる

この2つの文を対比させて進めていく。
ここから先に出てくる"数字"という言葉は'0'〜'9'のいずれかの1文字、という意味で使う。また、'0'の取り扱いに関しては若干の制約が必用なのだが割愛する。


まずは、

どんな自然数でも有限の桁数で表記できる

の方。
自然数を十進数表記することを考える。
まず、1の位を数字で書くことから始まって、次に10の位の数字をその左に書き、また次に100の位の数字をその左に書き……、と言う様に、左に伸びていく表記法となる。
さて、ある自然数を表現する時に、
「永遠に左に伸びていってどこかで終わることがない、などという事態が発生するだろうか?」
「そんなことはありえない」
数字の列はどこかで終わる。
いや、数字の列が終わることで初めて、ある自然数を一意に表現する表記となりうる、と言ってもいい。


次、

[0, 1]閉区間のどんな実数でも有限の桁数で表記できる

の方。
これを十進数表記することを考える。
先ほどとは逆で、 0. で始まって、次に\(\frac{1}{10}\) の位の数字をその右に書き、また次に\(\frac{1}{100}\) の位の数字をその右に書き……、という様に、右に伸びていく表記法となる。
さて、ある実数を表現する時に、
「永遠に右に伸びていってどこかで終わることがない、などという事態が発生するだろうか?」
「起こりうる」
例えば \(\frac{1}{3}\) という有理数は、0.3333333… という様に永遠に'3'を書き連ねることでしか表現できない。
あるいは、\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) という無理数(実は \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) のことだ)を表現するためには、永遠に右側に数字が伸びていくことになる。
以上の反例から、「[0, 1]閉区間のどんな実数でも有限の桁数で表記できる」は偽であることが判る。


さて、

「永遠に左に伸びていってどこかで終わることがない、などという事態が発生するだろうか?」
「そんなことはありえない」

「永遠に右に伸びていってどこかで終わることがない、などという事態が発生するだろうか?」
「起こりうる」

この2つの問答が、すなわち、

有限の桁数で表記できる

有限の桁数で表記できない

という言葉の本質を表現している。


どんな自然数でもたかだか有限の桁数で表記できる

というのは「自然数の桁数には上界がある」という意味ではなくて、こういうことを表現しているのですよ。


追記
あとはこの順で

http://d.hatena.ne.jp/ROYGB/20051209

http://materia.jp/blog/20051210.html#p03
http://materia.jp/blog/20051210.html#p02
http://materia.jp/blog/20051210.html#p01


追記 08/09/13

prima materia - diary : 無限桁の数・無限に数字が続く数 p-進数への足がかりとして

てのも書いたのでどうぞ。
日常とは違う数学の世界への扉です。

本日のコメント(全3件) [コメントする]
ROYGB (2006-03-20 21:16)

その実数の集合の説明では、有理数の集合にも当てはまってしまいます。ある有理数αの次は考えることが出来ない。でも有理数の集合は「加算無限」。<br>あと、連続ではない連続無限(非可算無限)集合、「カントール集合」とかもあるようだし、無限は奥が深いですね。

quintia (2006-03-20 21:16)

確かにその通りです。失礼しました。<br>本当はその後で、「関数が連続である」とはどういう定義だったか? と話を続けるつもりがあったのですが割愛しちゃったので、指摘の通りの結果となってしまいました。<br>まぁ、直観的には可算無限に見えない「有理数の集合」が可算無限であることを指摘したカントールはすごいですね、ということで……。(^-^;A

quintia (2006-03-20 21:17)

やっぱり、ちょいと書いてみましょうか。<br>関数f(x)がaで連続である、という定義は、<br>f(a)が存在する<br>x→aの時f(x)が極限を持つ<br>x→aの時のf(x)の極限とf(a)が一致する<br>でした。<br>さて、有理数の集合を[0,1)で関数化しましょう。<br>f(x) = xが有理数の時x, xが無理数の時0<br>とでもしましょうか。<br>すると当然区間[0,1)で連続な関数にはなりません。<br>もちろん、だからといって有理数の集合が連続無限集合ではないことの証左にはなりませんが、現実にはカントールにより有理数の集合が可算無限集合になることが証明されているのです。