2006-06-04 [長年日記]

『1=0.9999…… ?』 追補 [etc]

prima materia - diary : 『1=0.9999…… ?』から『極限で使われる=は等号ではないのではないか?』や『テトラちゃんとハーモニック・ナンバー』へ
prima materia - diary : 『1=0.9999…… ?』 続き
prima materia - diary : 『1=0.9999…… ?』 まだ続き

からの流れ。


それは「正しい」か「正しくないか」という問題ではなくて、「そうであった方が綺麗」という願い。

prima materia - diary : スモールワールド・ネットワーク , 『1=0.9999…… ?』 続き , 『1=0.9999…… ?』 まだ続き

などと迂闊に書いてしまったのでちょっとフォロー。
1=0.9999……
は、間違いなく「正しい」。

prima materia - diary : 自然数の桁は有限でおさえられる 続き

とも関係があるが、10進数による表記では 1/3 の様な単純な分数でさえ有限の桁で表現できない、という表記/表現の問題から出てくる「ちょっと不思議な話」であって「正しい」ことには間違いない。
ただ、それがちゃんと理解できるまでの道程は長い。


prima materia - diary : 『1=0.9999…… ?』から『極限で使われる=は等号ではないのではないか?』や『テトラちゃんとハーモニック・ナンバー』へ

で書いた様に、

x=0.9999…… とする。
両辺10倍する。
10x=9.9999……
差をとる。
9x=9
x=1

の説明は、級数の収束判定なくして定数倍していたりするのがちょっと問題。


また、0.9999…… を無限級数と見なしてその収束値が1だと主張するのも因果が逆。なぜなら、この無限級数が1に収束するように無限級数の収束を定義したはずだから。
このあたりの因果関係のことを、

それは「正しい」か「正しくないか」という問題ではなくて、「そうであった方が綺麗」という願い。

prima materia - diary : スモールワールド・ネットワーク , 『1=0.9999…… ?』 続き , 『1=0.9999…… ?』 まだ続き

と書いた次第。


杞憂かもしれないけど、とりあえず書いておこう。

CMS…… [hatena]

見たらうんざりすると思うので回答にはしないけど。

上記別投稿のものでも構いませんし、例えばXOOPSのCubeのようにさらに特定したものでも構いませんが、なにか「違い」を知りたいです。
http://q.hatena.ne.jp/1149426362


http://www.cmsmatrix.org/matrix/cms-matrix

このページで比較できる(英語だけど)。


http://www.cmsmatrix.org/matrix/cms-matrix?func=search

検索ページを出して、DatabaseにMySQL、Programming LanguageにPHPと入れて検索してみるとよろし。
うんざりするほど種類があるんだから……。

『1=0.9999…… ?』 追補の2 [etc]

1=0.9999……
は、間違いなく「正しい」。

とか書いたけど「いや超現実数ってのがあってその間にも数を捉えることができるんですよ」とかありそうなので、先回りして書いておこう。
とはいっても「超現実数」についてはknuth先生の、

至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語

  • 作者: ドナルド・E. クヌース
  • 出版社/メーカー: 柏書房
  • 発売: 2004-11
  • ASIN: 4760126465
  • メディア: 単行本
  • amazon.co.jp詳細へ

読んだ程度なので……。


ちゃんと考えたわけではないけど、0.9999……という循環小数と、1との間に(超現実数で拡張された概念である)「数」があらわれてくるとすれば、それは超現実数のはずだ。
0より大きいいかなる「実数」よりも小さく、かつ0よりも大きい「無限小」。いかなる「実数」よりも大きい「無限大」。これらが超現実数にあらわれてくるわけだが、
0.9999…… < a < 1
なる超現実数 a が考えられるとして、私の素人考えでは、
1 - a
や、
a - 0.9999……
は「無限小」になるのではないだろうか?
そう考えると、
0.9999…… ←無限小→ a ←無限小→ 1
という関係になって、これはとりもなおさず「0.9999…… と 1 の間には実数の範疇に入る数は表われない」という意味になって、めでたしめでたし。
となるのかなぁ、と想像する。


超現実数に詳しい方のフォローが欲しいところですが。

本日のコメント(全2件) [コメントする]
&#130;かえで(yfi) (2006-06-05 02:17)

http://www.casio.co.jp/release/2004/fx_82es.html<br>みんなが生まれたときから「分数演算が可能な電卓」があれば、こういう疑問は発生しなかったのかも……いや、そういう話ではないですよね……失礼しましたorz

quintia (2006-06-05 07:38)

うぉ。これは綺麗な電卓ですね。<br>分数にしろ無理数にしろ、10進数表記ではちゃんと書けない(=その数の概念を表現しきれない)から分数や√の様な表記が必要になった、と考えるべきなのでしょうね。